Menghilangkan Alergi Terhadap Persamaan Schrödinger

Banyak alasan kenapa mahasiswa fisika ataupun teknik fisika yang rada alergi atau setidak-tidaknya gimana-gitu-dech dengan Schrödinger, bukan Erwin Schrödinger si pencetus, melainkan pada persamaan yang dicetuskannya. Persamaan Schrödinger pasti muncul ketika belajar Fisika Modern, atau Fisika Atom, Fisika Zat Padat, apalagi Fisika Kuantum. Saya sendiri pertama kali mengenal persamaan ini saat duduk di kelas 3 SMA, membaca buku Fisika Modern karya Arthur Beiser yang diterjemahkan ke dalam bahasa Indonesia. Di bangku kuliah, persamaan ini diajarkan oleh Pak Andrianto Handojo di matakuliah Fisika Modern.

Kenapa alergi? Tentu banyak alasannya. Yang jelas, bukan karena cemburu pada Erwin yang dalam sejumlah legenda disebut sebagai the real playboy. Kepada mahasiswa, saya menganjurkan buku Introduction to Quantum Mechanics karya David J. Griffiths sebagai acuan mempelajari persamaan ini.

Mari kita telaah, kira-kira bagian mana yang membuat sebagian kita rada gimana-gitu-dech dengan persamaan ini. Kita tulis terlebih dahulu persamaan Schrödinger dalam bentuk bergantung waktu (time dependent),

\left(- \frac{\hbar^2}{2\, m} \nabla^2 + V\right) \Psi = \Im\, \hbar\: \frac{\partial \Psi}{\partial t},

dengan $\Psi$ adalah solusi persamaan sebagai fungsi waktu dan posisi ($\Psi(t, x)$), $\nabla^2$ adalah operator Laplacian, dan $V$ adalah fungsi energi potensial.

Pertama, persamaan ini adalah persamaan dinamika. Jadi, kedudukannya setara dengan persamaan gerak Newton

\vec{F} = m\: \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2}

(hukum 2 Newton) dengan $x(t)$ adalah solusi persamaan, dan juga persamaan gelombang

\nabla^2 f = \frac{1}{v^2} \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d} t^2}

dengan $f(t, x)$ adalah solusi persamaan.

(Saya asumsikan pembaca sudah familiar dengan dua persamaan gerak ini.)

Persamaan gerak Newton adalah untuk partikel (objek yang memiliki massa), persamaan gelombang adalah untuk gelombang (objek yang memiliki panjang gelombang). Sedangkan persamaan Schrödinger adalah persamaan gelombang untuk partikel.

Persamaan gelombang untuk partikel??? Bukankah persamaan gelombang objeknya gelombang? Artinya, identitas dari persamaan gelombang adalah panjang gelombang? Benar… identitas gelombang sebuah partikel diberikan oleh hipotesis de Broglie,

\lambda = \frac{h}{p}

dengan $\lambda$ sebagai panjang gelombang partikel dan $p$ adalah momentum partikel yang diberikan oleh massa partikel kali kecepatannya ($m\, v$).

Jadi, seharusnya tidak ada masalah di sini.

Kedua, persamaan ini adalah wujud lain dari kekekalan energi. Ini terlihat kalau persamaan Schrödinger ditulis dalam bentuk takbergantung waktu (time independent),

\left(- \frac{\hbar^2}{2\, m} \nabla^2 + V\right) \psi = E\, \psi

dengan $\psi$ adalah hanya fungsi posisi saja ($\psi(x)$).

(Mengubah persamaan Schrödinger dari bergantung waktu ke takbergantung waktu menggunakan teknik pemisahan variabel. Lebih detil dapat dilihat pada buku-buku teks mekanika kuantum, atau pada catatan kuliah Fisika Modern saya bab 3 – sila diunduh, gratis!)

Kedudukannya sama dengan persamaan Bernoulli pada mekanika fluida, persamaan kontinuitas pada mekanika fluida dan elektrodinamika, dan tentu saja sama dengan prinsip kekekalan energi,

T + V = E,

dengan $T$ adalah energi kinetik, $V$ adalah energi potensial, dan $E$ adalah energi total.

Suku pertama sebelah kiri persamaan Schrödinger adalah $T$; suku kedua, jelas sekali, adalah $V$; dan suku sebelah kanan persamaan adalah $E$. Sedikit berbeda dengan persamaan Bernoulli atau prinsip kekekalan energi, $T$ pada persamaan Schrödinger adalah operator (ada $\nabla^2$ di sana).

Jadi, seharusnya juga tidak ada masalah di sini.

Ketiga, bagi yang sudah mengenal persamaan kanonikal Hamilton, persamaan Schrödinger dapat ditulis dalam bentuk

\hat{H}\: \psi = E\: \psi.

dengan $\hat{H}$ disebut oeprator Hamiltonian. Dalam mekanika klasik, operator Hamiltonian didefinisikan sebagai fungsi dari momentum posisi $x$ dan $p$,

\hat{H} \equiv \frac{1}{2\, m}\: p^2 + V(x).

Kaitkan dengan suku-suku sebelah kiri persamaan Schrödinger takbergantung waktu, terlihat bahwa

p^2 \rightarrow -\hbar^2\: \nabla^2

yang mengubah kuadrat momentum menjadi operator energi kinetik. Ini adalah ide original dari Erwin Schrödinger, suku ini tidak dapat diturunkan dari hukum apapun (baca: Feynmen Lectures on Physics volume III, Bab 16).

Mudah bagi kita untuk mendefinisikan operator momentum, yaitu

\hat{p} = \Im\, \hbar\: \nabla.

Nilai $E$ dalam persamaan Schrödinger disebut juga eigenvalue dari Hamiltonian. sementara, fungsi gelombang $\psi$ disebut eigenfunction.

Bagi mereka yang belum mengkhatamkan Mekanika Klasik, bagian ini tentu mulai sedikit menyesakkan dada.

Keempat, yang membuat persamaan Schrödinger sedikit berbeda dari persamaan gerak partikel atau gelombang dalam mekanika klasik adalah interpretasinya. Persamaan Schrödinger digunakan dalam mekanika kuantum yang, berbeda dengan klasik, menganut paham probabilistik.

(Sila baca Bab 1 pada buku Griffiths atau Bab 2 pada catatan kuliah Fisika Modern saya.)

Apa maksudnya?

Perhatikan persamaan gerak partikel yang diberikan oleh hukum 2 Newton. Jika saya tahu jenis gaya eksternal yang bekerja pada sistem, saya dapat menyelesaikan persamaan tersebut sehingga saya mendapatkan fungsi $x(t)$. Dalam kasus gerak lurus berubah beraturan, misalnya, saya dapatkan

x(t) = \frac{1}{2}\: a\, t^2 + v_0\, t.

Artinya, jika saya tahu percepatan partikel, saya tahu kecepatan awalnya, maka saya tahu di mana partikel itu pada waktu kapan pun jua. Jika saya mengetahui lintasannya, saya dapat mengetahui dengan pasti apa yang terjadi pada partikel pada waktu masa depan atau masa lalu.

Begitu pula dengan persamaan gelombang. Misalnya pada kasus gelombang harmonis pada tali dengan solusi diberikan oleh

f(t, x) = A\, \sin{(k\,x - \omega\, t)}.

Jika saya tahu simpangan maksimumnya, saya tahu karakteristik talinya (massa jenis dan panjang), maka saya tahu apa yang terjadi terhadap tali pada jarak $x$ dan waktu $t$. Saya dapat hitung dengan tepat energi yang dirambatkan pada tali, dan seterusnya…

Tapi, fungsi gelombang untuk partikel yang merupakan solusi dari persamaan Schrödinger tidak memberikan makna apa-apa. Fungsi gelombang Schrödinger baru bermakna ketika dikuadratkan, $|\psi|^2$, yaitu menjadi fungsi densitas probabilitas (probability density function, PDF).

Konsep PDF menjadi sedikit rumit karena pembaca harus terbiasa dengan teori probabilitas. Anda dapat membaca Bab 1 buku Griffiths atau Bab 2 pada catatan kuliah Fisika Modern saya.

Teori probabilitas menjadi penting dalam persamaan Schrödinger karena mekanika kuantum sendiri menganut paham probabilistik,

Bahwa Alam ini berperilaku probabilistik. Apa yang akan dilakukannya nanti tidak dapat diketahui secara pasti secara matematis. Yang bisa kita lakukan adalah menghitung segala kemungkinan yang terjadi. Meskipun demikian, Alam tidak harus melakukan apa yang kita anggap sebagai kemungkinan terbesar.

Kita tidak pernah dapat menjelaskan kenapa Alam berperilaku sebagaimana dia berperilaku, kita hanya dapat menghitung bagaimana mekanisme perilakunya tersebut.

Kita dapat menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk berbagai kasus, tapi interpretasi fisis dari solusi tersebut harus menggunakan kacamata probabilistik. Ini yang menjadi sumber kegalauan pada praktisi kuantum, mereka menghitung sesuatu yang mereka tidak tahu kenapa.

Mahasiswa juga ikut latah bingung. Bedanya, kalau praktisi bingung pada tahap filosofis, mahasiswa bingung pada tahap dasar: perhitungan matematis dan interpretasi fisis.

Sebelum menyelesaikan sebuah masalah, kita dituntut untuk memahami secara fisis permasalahan tersebut. Pemahaman yang baik akan menuntun kita menggunakan matematika yang tepat dalam penyelesaiannya. Matematika persamaan Schrödinger tidak hanya terletak pada persamaan diferensial orde dua, operator Laplacian, dan sketsa grafik fungsi saja. Jangan dilupakan, bahwa fisis dari persamaan Schrödinger justru terletak pada teori probabilitas.

Oleh karena itu, saya sangat menganjurkan bagi siapa saja yang ingin menghilangkan alergi dan perasaan gimana-gitu-dech dengan persamaan ini maka hendaklah memulainya dari teori probabilitas.

Itu saran saya, terutama bagi mereka yang sedang mengambil kuliah Fisika Modern di kelas saya sekarang… hee hee hee 😀

Author: febdian RUSYDI

a physicists, a faculty, a blogger.

6 thoughts on “Menghilangkan Alergi Terhadap Persamaan Schrödinger”

  1. Persamaan Schrodinger…….. paling “ditakuti” oleh semua mahasiswa Fisika… gak kebayang ternyata Bang Febdian udah kenal dari masa SMA and sudah baca bukunya Arthur Beiser mulai SMA…..
    Terus terang Bang….selama saya kuliah saya “gak mudeng” ama ni Persamaan.. padahal berkali-kali keluar di Fisika Padat, Modern Kuantum, bahkan di Mekanika pun ada berbarengan dengan Hamiltonian….. tapi ya itu tadi… tetep “gak mudeng”… hehehehehe………
    Oya Bang… Ijin… saya menampilkan tulisan Bang Feb pada 2006 silam di blog saya (tentunya saya cantumkan sumbernya, dan saya link ke blog ini), …. mohon maaf ijinnya setelah tulisanya saya post……

  2. Pak dosen, kalau bisa tolong buat daftar istilah fisika dong. Kami sedang berupaya menerjemahkan buku-buku fisika teoritis (meski cuma modal nekad, maklum awam fisika). Pak dosen entar kalau kami bingung apa-apa mau tanya ke sini yah.

    O iya Pakkami mau tanya nih. Kami ingin bertanya soal kucing Schrödinger dan sifat elektron. Mohon dijawab dengan rinci dan disertai contoh konkret, maklum kami orang awam.

    – Apa yang menyebabkan fisikawan quantum
    sampai pada hipotesis/kesimpulan bahwa kucing Schrödinger hidup dan mati pada waktu yang sama? Bukankah saat ujicoba dimulai, kucing itu dalam kondisi hidup? Masalah ditempatkannya botol gas beracun yang terhubung dengan palu (yang terhubung dengan Geiger counter yang ditempatkan dekat potongan uranium) adalah soal lain menurut kami. Pembusukan radioaktif adalah kemungkinan belakangan yang belum terjadi ketika kita mengatakan bahwa kucing itu hidup, meskipun selisihnya 1 detik atau lebih kecil. Sebab saat kita menaruh kucing, tentunya ia masih hidup. Jadi menurut saya persoalan kemungkinan hidup dan mati sekaligus ini bukanlah soal kita melihat kucing itu dalam kondisi definitif atau tidak. Tanpa melihat pun, dengan kemungkinan pembusukan radioaktif uranium, kita bisa memastikan bahwa kucing itu kemungkinan akan mati, dengan syarat yang harus terpenuhi, yaitu terjadinya pembusukan radioaktif. Tapi ketika kita menaruh kucing, kita harus mengatakan bahwa kucing itu hidup. Baru sekian detik kemudian, dengan probabilitas peristiwa quantum pada uranium, kita yakin, si kucing akan mati segera setelah gas beracun menyebar, tanpa kita harus melihat kucing untuk memastikan kondisi definitifnya dengan kolapsnya fungsi gelombang kucing.

    – Apa hubungan fungsi gelombang suatu objek dengan kondisi definitif objek tersebut? Mengapa perilaku elektron dianggap dimiliki juga oleh objek-objek? Misalnya pohon. Apa hanya karena elektron menjaga kesatuan molekul objek? Saya membaca teori mekanika quantum yang menyatakan bahwa sebuah objek sebetulnya tidak eksis sampai ia dilihat oleh kita sehingga fungsi gelombangnya kolaps. Menurut saya yang bodoh dan awam ini, sebuah objek itu eksis tanpa dilihat oleh kita sekalipun. Objek ada karena kita memiliki informasi tentangnya meski kita belum pernah melihatnya. Contoh, saya tahu dan yakin bahwa di sebuah pulau terpencil di Samudera Pasifik terdapat sebuah tanaman, paling tidak satu. Itu karena kita mendapatkan informasi terkait hal ini, meski kita sama sekali di mana pulau itu, meski tidak tahu seperti apa tanaman itu. Jadi menurut kami yang membuat sesuatu objek itu eksis adalah informasi tentangnya. Jika kita tidak sedikit pun memiliki informasi tentangnya, berarti tidak eksis dalam otak/pikiran kita, walau faktanya eksis. Begitu pula dengan kondisi definitif suatu objek. Pohon misalnya (permisalan ini yang saya baca dalam buku). Menurut interpretasi quantum, sebuah pohon tidak diketahui apakah berdiri atau runtuh, sebelum pengamatan dilakukan, sebab pohon bisa eksis dalam semua kemungkinan kondisi secara bersamaan: runtuh dan berdiri. Tapi menurut saya, kondisi definitif pohon tidak ditentukan oleh penglihatan kita. Kondisinya ditentukan oleh fakta riil sendiri. Kalau faktanya ia runtuh, tetaplah runtuh, walau kita tidak melihatnya. Orang buta pun bisa memastikan sebuah pohon benar-benar runtuh atau berdiri dengan merabanya, tanpa melihatnya. Bukankah demikian? Jadi keeksisan dan kondisi definitif objek menurut saya ditentukan oleh informasi yang masuk, entah langsung atau tidak langsung. Tolong jelaskan yaa. Juga tentang pengaruh elektron dalam suatu objek terhadap sifat dan fungsi gelombang objek tersebut. Apa yang menyebabkan fungsi gelombang elektron kolaps ketika kita melihatnya? Maksudnya, mengapa pengamatan kita menyebabkan fungsi gelombang elektron kolaps? Demikian pula kasusnya pada objek-objek.

    Mohon dijawab rinci dan tuntas yaa. Soalnya memberatkan pikiran. Kalau boleh, tolonh jawabannya di blog kami http://sainstory.wordpress.com/. Terima kasih sebelumnya. Maaf jika pertanyaan saya ngawur. Awam beneran kami ini.

  3. Bung Jookut yang keren,

    Mengenai daftar istilah fisika, itu usul yang bagus. Sudah pernah seorang kerabat menyarankan hal yang sama. Insya Allah saya coba tulis, mungkin dalam bentuk seri, karena tentu istilah fisika itu sangat banyak dan luas.

    Pertanyaan 1 (Kucing Schroedinger) dan Pertanyaan 2 (Arti fungsi gelombang untuk partikel) yang mengganggu Bung Jookut, menurut pemaparan di atas, bersumber pada cara pandang. Yang membedakan mekanika klasik dengan mekanika kuantum adalah mekanika klasik menganut paham deterministik (prinsip kausalitas) sedangkan mekanika kuantum menganut paham probabilistik.

    Dalam mekanika klasik, sekali kita tahu fungsi gerak sebuah sistem, maka kita dapat menghitung dengan pasti di mana dia sekarang, kemarin, atau akan datang. Namun tidak begitu dalam mekanika kuantum, meskipun kita tahu fungsi geraknya tidak serta merta kita tahu di mana dia sekarang. Yang dapat kita hitung dalam mekanika kuantum adalah probabilitas sistem berada di posisi yang kita inginkan.

    Fungsi gerak dalam mekanika kuantum adalah sebuah fungsi gelombang yang menggambarkan keadaan sebuah partikel (teori gelombang untuk partikel — konsekuensi dari dualisme gelombang-partikel de Broglie). Berbeda dalam mekanika klasik, fungsi gelombang kuantum tidak memberikan apa-apa kecuali kita kuadratkan dia. Kuadrat dari fungsi gelombang kuantum adalah sebanding dengan fungsi kerapatan probabilitas keberadaan partikel itu ditemukan di posisi x pada waktu t.

    Kedua mekanika tersebut, meskipun berbeda paham, memiliki kesepakatan dalam eksperimen: bahwa semua teori harus dapat dibuktikan dalam eksperimen.

    Misalnya dalam eksperimen khayal kucing Schroedinger. Dari mana kita tahu kucing itu mati atau hidup? Satu-satunya cara adalah dengan membuka tutup kotak. Namun, membuka tutup kotak berarti menganggu sistem — jangan-jangan keadaan akhir kucing (mati atau hidup) ditentukan saat kotak dibuka, bukan oleh eksperimen itu sendiri.

    Dalam dunia kuantum, pengamatan dapat merusak sistem. Elektron yang tertangkap oleh sebuah detektor ada di sana karena gerakkannya dihentikan oleh detektor. Gelombang yang sedang bergerak tidak dapat kita ketahui panjang gelombangnya. Untuk mengukur panjang gelombangnya, kita harus hentikan gelombang itu — namun ini berarti dia bukan lagi gelombang (karena sedang tidak merambat). Paradoks ini dikenal dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg.

    Sama halnya juga dengan contoh sebuah pohon di sebuah pulau. Dalam fisika, kita dapat katakan bahwa benar di sana ada pohon jika sudah ada pengamatan/pengukuran dilakukan.

    Pada akhirnya segala teori dalam fisika harus dijastifikasi oleh eksperimen. Fisika harus dapat diamati/diukur atau dibuktikan secara eksperimen, jika tidak maka itu bukan fisika.

    Ini sekaligus merespons pernyataan Bung Jookut bahwa “Tapi menurut saya, kondisi definitif pohon tidak ditentukan oleh penglihatan kita. Kondisinya ditentukan oleh fakta riil sendiri.” — Fakta riil itu benar sekali, tapi harus dapat diamati/diukur dalam sebuah eksperimen.

    Semoga memuaskan.

Leave a Reply