Root-Mean-Square (rms)

Seorang tweep meminta saya menulis konsep arus atau tegangan rms. Pertanyaan serupa juga pernah saya terima lewat email terkait tulisan “Arus bolak-balik, apa itu?”. Di samping itu, sudah lama saya tidak menulis blog, saya pikir baik juga memulai untuk saya menuliskan tentang rms.

Banyak cara memulai pembahasan tentang rms. Yang paling mudah mungkin dari bahasa. Root-mean-square artinya “dikuadratkan, lalu diambil rata-ratanya, kemudian diakarkuadratkan”. Jadi, kalau ada sebuah sekumpulan pengukuran {x_i} (dengan indeks i = 1, 2, \ldots , N menunjukkan nilai pengukuran ke-i), untuk mendapatkan nilai rms-nya:

  1. kuadratkan setiap nilai pengukuran: {x_1}^2, {x_2}^2, \ldots, {x_N}^2
  2. rata-ratakan, \frac{1}{N}\sum_i^N{(x_i)^2} = y
  3. dan akar kuadratkan, \sqrt{y} = x_\text{rms}

Langkah kedua menunjukkan bahwa sesungguhnya yang kita lakukan adalah mencari nilai rata-rata.

Pertanyaan penting sekarang adalah, “Kenapa mencari rata-rata harus pakai rms?”. Konsep rms berasal dari statistik, sebuah seni matematika untuk menganalisis angka-angka hasil pengukuran. Mari kita pelajari konsep ini dari contoh berikut.

Anggaplah kita ingin mengetahui beda tegangan antara dua kutup sumber ggl. Pengukuran kita lakukan beberapa kali (pengukuran berulang, biasanya paling sedikit 30 kali pengukuran untuk alasan statistik). Kemudian, dari 30 nilai pengkuran ini kita dapat hitung nilai rata-ratanya (mean, \bar{x}). Katakanlah nilai rata-ratanya 1 volt.

Nilai rata-rata saja tidak cukup untuk melaporkan hasil pengukuran. Karena nilai 1 volt dapat diperoleh dari takhingga kombinasi 30 angka-angka. Bayangkan saja rata-rata dari dua angka yang memberikan nilai 1, bisa (1/2 dan 3/2), bisa (0 dan 2), bisa (0,9 dan 1,1), atau bahkan (-1 dan 3).

Angka berikutnya yang harus dicantumkan adalah eror (ketidakpastian) dari pengukuran. (Ingat: dalam pengukuran, eror bukan kesalahan, tapi bagian dari pengukuran itu sendiri.) Eror ini menunjukkan kualitas pengukuran. Hubungan mereka berbanding terbalik: Semakin kecil eror, semakin bagus kualitas pengukuran. Artinya, semakin tinggi tingkat kepercayaan pengukuran tersebut. Dari tiga kombinasi angka-angka yang memberikan nilai rata-rata 1 di atas, mudah bagi kita untuk melihat kombinasi (0,9 dan 1,1) memiliki kualitas paling baik. Alasannya jelas, karena kedua kombinasi angka ini nilainya sangat dekat dengan nilai rata-rata.

Lebih jauh, angka pengukuran untuk ini dapat ditulis 1,0 \pm 0,1 (penulisan angka mematuhi aturan angka pasti).

Kedekatan setiap nilai pengukuran dengan nilai rata-ratanya memberikan kita kualitas pengukuran tersebut.Tidak semua nilai pengukuran nilainya persis sama dengan nilai rata-rata. Perbedaan nilai pengukuran x_i dengan nilai rata-rata \bar{x} disebut deviasi, d_i = x_i - \bar{x}. Nilai d_i diizinkan positif dan negatif. Jika deviasi ini kita rms-kan, maka kita dapatkan besaran simpangan baku (standard deviation), \sigma, yang tidak lain adalah kualitas pengukuran. Semakin kecil \sigma, semakin bagus kualitasnya.

Dengan kata lain, simpangan baku adalah rms dari deviasi.

Kenapa di-rms-kan? Kenapa tidak langsung dicari rata-ratanya, yaitu menjumlahkan semua nilai d_i  (\sum_i^N{(x_i)^2}) lalu dibagi dengan banyak pengukuran N?

Karena nilai deviasi boleh positif dan negatif, ada kemungkinan nilai d_1 + d_2 + \ldots + d_N = 0. Ini membuat simpangan baku sama dengan nol. Artinya, erornya nol, kualitas pengukuran sempurna! Kualitas sempurna ini hanya terjadi jika semua x_i = \hat{x}.

Mari kita lihat lihat contoh hasil pengukuran beda potensial sebuah sumber ggl pada artikel Arus bolak-balik, apa itu?.

Pengukuran dilakukan dalam rentang waktu dari t = 0 sampai T dan kemudian diplot dalam grafik beda tegangan V versus waktu t seperti pada gambar di atas. Berapa nilai rata-rata pengukuran kita? Jika kita tidak menggunakan konsep rms, nilainya adalah nol, karena jumlah nilai positif dan negatif sama (lihat grafik). Artinya tidak beda  tegangan selama waktu T – dan ini jelas-jelas tidak benar. Oleh sebab itu, nilai rata-rata dihitung dengan konsep rms.

Bagaimana teknis me-rms-kan beda tegangan V?

Kita dapat nyatakan beda V sebagai fungsi waktu, misalnya kita pinjam fungsi sinusoidal V(t) = A\, \cos(\omega\, t) dengan \omega adalah frekuensi beda tegangan (baca: Arus bolak-balik, apa itu?) dan amplitudo A memberikan nilai maksimum $V$.

Ikuti langkah rms tadi,

  1. kuadratkan, A^2\, \sin^2(\omega\, t)
  2. rata-ratakan, \frac{1}{T} \int_{0}^{T}{\text{d}t\: \big(A^2\, \cos^2(\omega\, t)\big) } – ingat, pilih selang waktu T sedemikian rupa sehingga T melingkupi satu periode gelombang,
  3. dan akar kuadratkan, dengan \int{\text{d}t\: \big(\cos^2(t)\big) } = \frac{1}{2}\, t + \frac{1}{4}\, \sin(2\, t) sehingga kita dapatkan,

V_\text{rms} = \frac{1}{\sqrt{2}}\: A.

Begitulah…

Apa? Kenapa harus diintegralkan pada langkah kedua? Ya, itu terkait jenis pengukuran yang kita lakukan. Jika pengukuran diskrit, kita pakai operator \sum_i untuk penjumlahan. Jika pengukuran kontinu, seperti contoh ini, kita pakai operator \int{\text{d}t} untuk penjumlahan.

Apa? Tidak tahu kalau \int{\text{d}t\: \big(\cos^2(t)\big )} = \frac{1}{2}\, t + \frac{1}{4}\, \sin(2\, t) ? D’oh Shifty

Author: febdian RUSYDI

a physicists, a faculty, a blogger.

5 thoughts on “Root-Mean-Square (rms)”

Leave a Reply