Kalkulus Vektor

rusydi-course-2015-fit303-1-cover

Pengalaman mengajar kuliah Listrik dan Magnet tahun 2007 — 2010 menunjukkan bahwa lebih baik menghabiskan waktu dan tenaga lebih banyak untuk membahas vektor kalkulus.

Medan elektrostatik, medan elektrodinamik, dan teori elektrodinamika bakalan lebih mudah kita pahami kalau dari awal kita sudah mengerti kalkulus vektor.

Parameter mengerti kalkulus vektor untuk keperluan kuliah ini ada dua, yaitu:

  1. Kita mengerti secara geometris teorema fundamental kalkulus untuk operasi gradien, operasi divergensi, dan operasi curl.
  2. Kita mengerti argumen teorema Helmholtz yang menjadi dasar dari teori medan vektor.

Itu saja. Continue reading “Kalkulus Vektor”

Root-Mean-Square (rms)

Seorang tweep meminta saya menulis konsep arus atau tegangan rms. Pertanyaan serupa juga pernah saya terima lewat email terkait tulisan “Arus bolak-balik, apa itu?”. Di samping itu, sudah lama saya tidak menulis blog, saya pikir baik juga memulai untuk saya menuliskan tentang rms.

Banyak cara memulai pembahasan tentang rms. Yang paling mudah mungkin dari bahasa. Root-mean-square artinya “dikuadratkan, lalu diambil rata-ratanya, kemudian diakarkuadratkan”. Jadi, kalau ada sebuah sekumpulan pengukuran {x_i} (dengan indeks i = 1, 2, \ldots , N menunjukkan nilai pengukuran ke-i), untuk mendapatkan nilai rms-nya:

  1. kuadratkan setiap nilai pengukuran: {x_1}^2, {x_2}^2, \ldots, {x_N}^2
  2. rata-ratakan, \frac{1}{N}\sum_i^N{(x_i)^2} = y
  3. dan akar kuadratkan, \sqrt{y} = x_\text{rms}

Langkah kedua menunjukkan bahwa sesungguhnya yang kita lakukan adalah mencari nilai rata-rata.

Pertanyaan penting sekarang adalah, “Kenapa mencari rata-rata harus pakai rms?”. Konsep rms berasal dari statistik, sebuah seni matematika untuk menganalisis angka-angka hasil pengukuran. Mari kita pelajari konsep ini dari contoh berikut.

Continue reading “Root-Mean-Square (rms)”

Kuasikristal dan Pola Mozaik

NobelPrize2011-Chemistry-3

Publikasi Shechtman di Phys. Rev. Lett. 53, 1984, p1951-4 membuat dia semakin dikritik. Namun, pada saat yang bersamaan para pakar kristrografi seluruh dunia seperti mengalami déjà vu. Banyak di antara mereka yang telah menyaksikan hal serupa, tapi mereka interpretasikan sebagai bukti dari kristal kembar. Sebagian mereka mulai membuka dan mengkaji lagi data dari buku log/jurnal mereka yang mungkin sudah usang. Tidak butuh waktu lama bagi para pakar untuk untuk melihat apa yang dilihat Shechtman: pola keteraturan yang tidak berperiodik.

Catatan penting buat mahasiswa bimbingan saya: itulah salah satu alasan kenapa saya wajibkan kalian menulis diari setiap hari, sebagai penggangi jurnal seperti di dunia eksperiman.

 

Kenapa kontroversial?

Saat Shectman mempublikaskan penemuannya, dia masih belum punya penjelasan pasti apa yang dia lihat. Menurut pakemnya, susunan atom-atom dalam kristal memiliki simetri yang unik. Perhatikan gambar di bawah ini. Pada gambar a., setiap atom dikelilingi oleh tiga atom yang identik dalam sebuah pola yang berulang, disebut simetri threefold (fold = lipatan).  Simetri threefold kembali ke posisi awal jika diputar sebanyak 120 derajat (sepertiga dari 360 derajat). Prinsip yang sama berlaku untuk gambar b. dan  c., untuk simetri fourfold (diputar 90 derajat, atau seperempat dari 360 derajat) dan sxifold (diputar 60 derajat, atau seperenam dari 360 derajat).

Continue reading “Kuasikristal dan Pola Mozaik”

Pengganti Diagram Feynman

Pagi ini, sebelum melanjutkan sejumlah pekerjaan yang tertunda, saya sempatkan membaca Nature edisi 13 Januari 2011. Tentu saja banyak artikel yang menarik, tapi saya pilihkan satu topik dari rubrik “News & Review” dengan judul artikel Particle physics: Beyond Feynman’s diagrams.

Nature 496 165-166Nature 496 165-166

Fisikawan yang belum pernah menggunakan diagram Feynman seperti koki yang belum pernah pegang pisau. Apalagi jika dia seorang fisikawan partikel, entah itu teoretik atau eksperimental. Di bangku sekolah, diagram Feynman diajarkan (mungkin) di mata kuliah Mekanika Kuantum, atau Teori Medan Kuantum, atau setidak-tidaknya di Fisika Nuklir (saat membahas peluruhan Beta).

Diagram Feynman menceritakan bagaimana menghitung probabilitas interaksi sebuah partikel dengan lingkungannya. Lingkungannya itu bisa jadi sebuah medan atau sejumlah partikel lain. Sebuah proton, misalnya, dalam perjalanannya di ruang angkasa boleh jadi dia berinteraksi dengan partikel-partikel lain (hamburan), mengeluarkan atau menyerap cahaya, atau bahkan berubah (meluruh) menjadi partikel lain. Semua kemungkinan itu digambar dalam diagram Feynman lalu probabilitas dapat dihitung dengan aturan-aturan yang dibuat oleh Feynman.

Semenjak Feynman mempublikasikan diagramnya, generasi fisikawan berikutnya banyak menghabiskan waktu untuk mempelajari proses hamburan dan kemudian menguji perhitungan mereka di laboratorium. Diagram Feynman dan aturan-aturannya ternyata selain mampu menyederhanakan perhitungan, juga dapat memprediksi banyak hal dengan sangat akurat ketika eksperimental membuktikannya.

Tapi, semua ajian sepertinya memang ada batasnya. Misalnya ketika mempelajari proses hamburan yang melibatkan partikel pengantar gaya kuat “gluon”. Enam gluon saja setidak-tidaknya berkontribusi pada 220 diagram Feynman. Akani-Hamed et al. meng-komputasi-kan Diagram Feynman untuk proses paling sederhana untuk interaksi yang melibatkan gluon ini dan mereka membutuhkan coding puluhan ribu integral matematis! Tapi, Parke dan Taylor (Phys. Rev. Lett. 56, 2459–2460 (1986)) dapat menyelesaikannya dengan solusi akhir hanya terdiri dari tiga suku sederhana.

Continue reading “Pengganti Diagram Feynman”

Massa Sebuah Benda itu

“Berapa beratmu?” tanya Aragorn kepada Gimli. Gimli menjawab, “100 kg”.

Dialog di atas sering kita dengar, tentunya dengan mengganti Aragorn dan Gimli menjadi orang-orang nyata yang kita kenal. Dan, kita juga tahu bahwa dialog itu keliru karena kilogram bukan satuan berat, melainkan massa. Ya, pertanyaan Aragorn yang lebih tepat adalah, “berapa massamu?” Berat sendiri termasuk keluarga gaya dengan satuan newton.

Tapi, tahukan kita bahwa massa itu sendiri memiliki tiga definisi berbeda?

massa sebagai identitas materi

Konsep massa memainkan peran penting dalam kinematika dan dinamika sistem. Jika sistem itu kita bedakan atas materi dan gelombang, maka massa menjadi identitas dari sebuah materi sementara identitas gelombang diberikan oleh panjang gelombangnya. Hipotesis dualisme gelombang-partikel de Broglie kemudian memberikan keterkaitan antara massa dan panjang gelombang sebagai

\lambda = \frac{h}{m\,v}\;.

Relasi di atas memberikan kita panjang gelombang sebuah benda bermassa m yang sedang bergerak dengan kecepatan v. Konstanta h adalah tetapan Planck.

massa sebagai inersia

Jika sistem itu jelas adalah materi, maka definisi pertama massa partikel diberikan oleh hukum 1 dan 2 Newton:

Continue reading “Massa Sebuah Benda itu”